テスト

因数分解　　まず共通項で括り出す。

２項　　　

３項

４項以上

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三角形の外角の二等分線と比

（三角形の角の二等分線に関する公式２）
　△ＡＢＣで∠Ａの外角の二等分線とＢＣの延長線との交点をＤとするとき、AB:AC=BD:DC

（証明）

ＣからＡＤに平行な直線を引き、ＡBとの交点をＥとする。

ＡＤとＥＣが平行より、∠ＡＥＣ＝∠FＡＤ（同位角）、∠ＡＣＥ＝∠ＤＡＣ（錯角）。
∠FＡＤ＝∠ＤＡＣより、∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ。
よって、△ＡＣＥは二等辺三角形、ＡＥ＝ＡＣ。

ＡＤとＥＣが平行より、ＡＢ：ＡＥ＝ＢＤ：ＤＣ、
ＡＥ＝ＡＣだから、ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ。

私立高校入試にでそうな数学の図形、相似 ちょっと難問

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http://www.youtube.com/watch?v=SJwLAOL7UmI

：図のように、△ABCの辺BCの中点をDとし、辺AB上に点Eをとり、CAの延長とDEの延長との交点をFとする。AC=12cm、DE:EF=2:1のとき、FAの長さを求めよ。













（解き方）
まず、問題文に書いてあることをすべて図に記入します。
求めるFAのところにxと記入するのを忘れないことです。

このままでは解けません。
どこにも相似の図形がないからです。

どうしたらよいでしょうか？






私なら、「「ちょうちょ」を見つけて「おむすび」で解く」を思い出します。

線を入れて、「ちょうちょ」、「おむすび」を作ることを考えます。

Dを通り、ACに平行な直線をひきます。











そうすると、△AFE∽△GDEとなり、ちょうちょ形の相似な三角形ができます。







また、△GBD∽△ABCとなって、おむすび形の相似な三角形をもちいて比の式を立てることもできます。

さらに、DがBCの中点であり、CD//ACですから、中点連結定理よりGD=6cmです。

以上より、△AFE∽△GDEで、相似比はFE:ED=1:2だから、x:6=1:2
2x=6
x=3

FAの長さは3cmです。


このように、どう解いたらよいか迷うような問題も、必殺技「「ちょうちょ」を見つけて「おむすび」で解く」を使えば、意外に簡単に解くことができます。

定理：ADが∠BACの二等分線のとき、AB:AC=BD:DC

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1

相似6


(1)
△ABCで上記の定理を使うとAB:AC=BE:EC
AB=12, AC=18、BE=xとするとEC=15-xなので
12:18=x:(15-x)
これを解くとx=6
(2)
△FBEと△FDAが相似、BE=6, AD=15なので相似比2:5
BF:FD=2:5よりBF:BD=2:7
OはBDの中点なのでBF:BO=4:7
よってBF:FO=4:3

---

44.　 △ABC の∠BAC の二等分線と辺 BC の交点を E、 　∠ABC の二等分線と辺 AC の交点を D とする。 　AB=8cm, BE=7cm, EC=21cm のとき 　AD の長さを求めよ。

 

上記の定理よりAB:AC=BE:EC
AC=xとすると8:x=7:21
これを解くとx=24なのでAC=24cm
またAB:BC=AD:DCなのでAD=yとすると
AB:BC=y:(24-y)
8:28=y:(24-y)
これを解くとy=$\frac{16}{3}$

1.　因数分解しなさい。

(1)ax2+7ax+12a (2)3ax2−18ax+24a (3)6x2−6 (4)25ax2−16a (5)3x3−30x2+75x (6)18ax2+24ax+8a (7)(5x−1)2−y2 (8)(x+y)2+4(x+y)+4 (9)(x+a)2−(y+5)2 (10)(x+3)2−2(x+3)−63

2.　次の問いに答えよ。

(1)x2+15x+n を因数分解したら(x+5)(x+a) となった。aとnの値を求めよ。

(2)x2−2x+n を因数分解したら(x−6)(x+a) となった。aとnの値を求めよ。

(3)x2+3x+n を因数分解したら(x+8)(x+a) となった。aとnの値を求めよ。

(4)x2+mx+20 は因数分解できる。そしてmは自然数である。あてはまるmをすべて求めよ。

(5)x2+mx−24 は因数分解できる。そしてmは自然数である。あてはまるmをすべて求めよ。

(6)x2+ax+18 を因数分解すると(x+m)(x+n) となる。a,m,nは全て整数である。aの値をすべて求めよ。

(7)因数分解しなさい (x+y)(a+b)2−2(x+y)(a+b)−15(x+y)