中１の体積の授業では、最初に体積を求める公式、角柱・円柱の体積＝底面積×高さ、角錐・円錐の体積＝底面積×高さ×１／３を覚えてもらいます。
このとき必ず出る質問が、「なぜ、『錐』の体積は『柱』の３分の１になるんですか？」です。

「理屈で求めるのは中学生には無理なんだよ、高校で習う積分を使わないと説明できないんだ。」
「なんか学校でやりましたよ。」
「円柱と円錐の容器に水を入れて、円錐の容器３杯分が円柱になるのを確かめただけと違う？中学生は公式を丸暗記して使うしかないと思うよ。」
と、お茶をにごして切り上げるものの、中学生にわかるように教えてあげられないかなとはいつも思っています。

『錐』の体積が『柱』の体積の１／３になることの証明、円錐だと私の力量では無理ですが、最も基礎的な立体である四角柱だったらなんとか中学生にもわかる説明ができないこともありません。

縦ａ、横ｂ、高さｃの四角柱（直方体）を例に証明してみましょう。

直方体
図の四角柱の体積は、底面積×高さの公式より、ａ×ｂ×ｃ＝ａｂｃです。














この四角柱を角錐に分解します。
四角錐３

















まず、下の長方形（縦ａ、横ｂ）を底面とする四角錐（高さｃ）と上の長方形（縦ａ、横ｂ）を底面とする四角錐（高さｃ）を考えます。
四角錐１四角錐２
四角錐の体積が四角柱の体積のｋ倍であると仮定すると、それぞれの四角錐の体積はａ×ｂ×ｃ×ｋと表わされます。







もとの四角柱からこの２つの四角錐をとった後には三角錐が２つ残ります。
三角錐２三角錐１
この三角錐それぞれの体積を式で表わします。

１つの三角錐の体積がもとの四角柱の体積のｋ倍だと仮定すると、三角錐１個分の体積はａ×ｃ×１／２×ｂ×ｋと表わすことができます。








上の図からわかるように、四角柱は２つの四角錐と２つの三角錐、合計４つの角錐に分解できます。

４つの角錐の体積を表わす式の和と、もとの四角柱の体積を表わす式とが等しいはずですから、
（ａ×ｂ×ｃ×ｋ）×２＋（ａ×ｃ×１／２×ｂ×ｋ）×２＝ａ×ｂ×ｃ
２ａｂｃｋ＋ａｂｃｋ＝ａｂｃ
３ａｂｃｋ＝ａｂｃ
ｋ＝ａｂｃ／３ａｂｃ
ｋ＝１／３